年末に想うー－アルキメデスに閃いたこと

アルキメデスが「ユーリカ！」と叫んで浴場から裸で跳びだした逸話は、明示はされていないけれども、純金の冠の成分を確かめる方法が主題だった。

金の冠の形は、研究者のドレクセル大学ロレス教授によれば古代ギリシャのリース（英語：wreath)だという。インターネットで　"The gold of Macedon" を検索してその画像サイトを見ると、おびただしい数の発掘品が揃っている。冠は leaf crown とか wreathとか幾種類かの名で呼ばれているが、どれも実に繊細で複雑な形をもつ。

冠を壊すことなく成分を調べるために体積を知りたいアルキメデスはうまい手立てが思いつかない。浴場で湯につかった途端、溢れる湯を見て、「あ、これだ」とひらめいたにちがいない。水ならばどんなに複雑な形であっても隅々までゆきわたるから、水に浸した物体が排除した水の量を調べれば体積が分かる。水に漬ければいいのだ。アルキメデスにひらめいたのは、こういうことだったろうと、わたしは確信している。

ものの重さ、体積、密度、比重などの関係をアルキメデスはすでに知っていたと思う。重さだけは王が細工師に預けた純金と同じだから自明であるが、体積が分からない。この入り組んだ形の細工物の体積をどうやって測ろうか、彼は考えあぐねていたに違いない。だから湯が溢れたときにアッと思ったのだ。

いま手元に、いわゆる「アルキメデスの原理」について二人の物理学者の表現がある。　

「彼が見つけたのは、湯船から溢れ出た湯の量（体積）は湯船につかった体の体積に等しいということだった」とは池内了氏の文である。酒井邦嘉氏は「空中と水中で量った物体の『重量差』が、物体と同じ体積の水の重量分だということに気づいたのだ」と書く。どちらの文もはじめのうちは私には納得できなかった。なんでそんな事がわかるのよ、という気持ちであった。テッサロニキ博物館の見事な金冠の数々を眺めながら、物理学の先生の説明と見比べていても虚しく湯ならぬ時間が流れるだけだ。ふと思いついて小学生の理科向けのサイトにあたってみた。

石ころの体積を量ってみようとの課題と説明の図が出ている。一目瞭然、そうか、そうか、これがわたしの「ユーリカ」だった。水が「溢れる」ことは「増える」ことだった。水槽に入れた水の中に石ころを沈めたとき、石ころと同じ体積の水の量が追い出されるのだ。水槽の縁が高ければ追い出された水は溢れないで水位が上がるだけである。

石ころを水に入れて体積を知る問題（文末URL参照）

 石ころの体積を求める問題は小学5年生の学習にあるようで、それがなかなか理解されない   らしい。そうだろうな、この問題は考えているだけでは納得しにくい。体験してみて自然の 法則を受け入れるしかない。筆者のわたしも5年生並みなのだということがよく分かった。

さらに、「空中で量った重量を、その重量差で割ることで比重が分かる」と、酒井先生はおかしなことを書いている、と思った。ここの重量差は先の文と同じように括弧付きが本来だろうが、「その」をつけることで括弧を省略したようだ。わたしは自分の言葉に置きなおして考えてやっと結論が出た。分かってみれば、石ころの図で全部説明ができている。酒井氏の文は表現が個性的なのだと思う。

冠を水に漬ければ難題は解決するとアルキメデスは考えた、とは、どこにも書き残されていない。水につけて排水量を比較する考案は紀元前1世紀のローマの建築家が書いている。これはロレス教授が披露していて、水量が微妙すぎて実際的でないとしている。アルキメデスをよく研究していたガリレオが述べているように、アルキメデスが研究した中に静水中の物体についての議論と梃子の議論がある。ロレス教授は、天秤秤で純金塊と冠を均衡させたのを水に漬けて、純金の方に天秤が傾くことで簡単に解決すると立論している。ブリタニカ百科事典でのこの逸話の扱いを調べてみたが、同じことが書いてあった。

一般的に逸話には事実が混じっているにせよ、時々の人々の楽しみにつくられている。冠の話は自然の法則であったり、原理が導かれる基本になったりする事柄が含まれていて興味深い。物体が静水の中で重さが変わることなど、風呂場での経験は豊富であっても、いまだにわたしは腑に落ちたとは言えない。「アルキメデスの原理」と呼ばれる事柄はいくつかあるのだろうけれども、いまここで勉強したつもりの水中の物体に関しても、たとえば船の重さ、排水トンをどうやって測定するのか、聞かされても芯からは信じられない。先だってスエズ運河で座礁した日本のコンテナ船の写真をみても、つくづくと、よくも平気で運航されているものだと疑う眼しかわたしにはないみたいだ。それはそれとして、お風呂での出来事はこれくらいにして、いつもの読書に戻ろう。ようやくのことに長く停滞していたのが進みそうだ。それにしてもアタマの弱くなったことよ。まもなく、またひとつ歳をとる。

余談。「Yahoo!知恵袋」でみた。「…水槽に石を入れたら深さが5cmふえた。ふえた水の体積は何cm³ですか。」の答えを教えてくださいというのがあって、回答者は「石が押し退けた水の分だけ、水かさが増えたのですから」として、水槽のタテｘヨコｘ5㎝で答えたあとに、ほんとは増えたのではないから、答えは「ふえた水はありません」または「０」かもしれませんね、と皮肉った。お礼の言葉に「息子にも教えてやりましょう」と書いてあった。親も大変なんだね。

参考にした本：池内　了『物理学の原理と法則』（講談社学術文庫）、

　　　　　　　酒井邦嘉『科学という考え方』（中公新書）

インターネット：https://jukensansuu.com/mizuniireru.html、

　　　　　　　　"Archimedes Home Page"、"The gold of Macedon"など。（2021/12）

 

アルキメデスと金の冠

アルキメデスに純金の冠の純度不正を見破る話がある。
湯船から溢れ出た湯の量が湯船につかった体の体積に等しいことを見つけた。そのことを「アルキメデスの原理」という。池内了氏はこのように書く（『物理学の原理と法則』）。すぐあとに、そんなことは当たり前の物質保存則であって原理などと大げさな言明ではないと書くが、原理と呼ぶのは適切でないとする表現であって、溢れ出た湯の量は湯に入った体の体積に等しいことをアルキメデスは見つけたのだ。この発見で冠を直接いじることなしに成分を明らかにし得たわけだから当時の大発見だったのだ。それでアルキメデスは「エウレーカ」と2回叫んで裸で街へ飛び出してゆく。ギリシャの言葉で「わかったぞッ」という意味だ。この叫び声で逸話が世界的に有名になったのだろう。それでいて、いったい何がわかったのだろう、と2千年以上時を隔てた今も議論が多い。ご本人がこのことをどこにも書き遺さなかったからだ。

第二次ポエニ戦役でカルタゴと組んだシチリアは、アルキメデスの考案した強力な武器を使って優勢であったが、裏切りが出たために敗れてローマに屈した。シチリアの故郷シラクサに住まうアルキメデスは数学の解法の研究に没頭して家にこもっていたため、戦況の推移もシラクサの陥落も知らなかった。アルキメデスの優秀さを知るローマの将軍は彼を見つけても殺さないよう命令を出していた。家にあって砂盤に描いた図形の上に屈みこんで考えごとに夢中になっているところにローマ兵が来た。声をかけても「私の図形を踏むな」というだけで相手にされないので腹を立てて刺殺してしまった。この話も伝説かもしれないが、時は紀元前212年だったのは確かなことだ。『プルターク英雄伝』にはこんなことも書いてあるらしいが読んだことはない。「エウレーカ」が有名になった故事は「黄金の冠」であるが、話の順序として次に要約する。

アルキメデスと親しかったシラクサの領主ヒエロ2世は、あつらえた純金製の冠に銀が混ぜられたと聞いて調べようとしたが、方法が見つからなくてアルキメデスに相談した。複雑な形を損なわないで純度を調べる手立てがない。現代の非破壊検査のはしりである。公共の浴場に出かけたときに冒頭に書いた発見をした。体を水に浸けたときの水位の変化に問題解決へのインスピレーションが働いたというのである。結論は細工師が銀を混ぜたことが暴露されて、めでたしとなった。

アルキメデスの著作のうちにこの話は出ていないとのことだ。話の出どころは、紀元1世紀のローマの建築家ウィトロウィウスの『建築について』に記されていることが知られており、私たちはその文章を読むことができる。だが、この著作の評判はかならずしも良くない。この著作に述べられたアルキメデスが採った方法は、彼の「限りない才能」の表れにふさわしくなく、かなり杜撰であるという評が多い。ついでにウィトロウィウスの評判も良くない。何がいけなかったのか。

インターネット上でウィトロウィウスの遺した文章を見ることができる。元のイタリア語の文と対比した英文を載せている次のURLを紹介しておく。

https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/Vitruvius.html

ウィトロウィウスの文章に書かれてあるのは次のような経緯だ。

１．浴槽に体を沈めるほどにその分だけ余計に湯が流れ出る。これが難題を解く方法だと気づいたアルキメデスは浴槽を跳びだして「エウレーカ、エウレーカ」と叫んで走って帰った。

２．冠と同じ重さの銀塊を容器の縁まで一杯に満たした水の中に浸ける。水に浸けた銀塊の体積と同じ嵩の水が溢れる。銀塊を水から取り出したあと、計量容器（英訳では a pint measure）を使って流れ出た水を元の容器に戻して縁まで一杯にする。これで一定量の水に対応する銀の重さを知った。

３．次に冠と同じ重さの金塊を水に浸ける。引き揚げてから流れた水の量を測ると、同じ重さの銀塊より嵩が小さいだけ流れた水が少なかった。

４．最後に同じ量の水に冠を沈めたところ同じ重さの金塊の場合より多くの水が流れ出した。これは金塊と同じ重さの冠の中に銀を混ぜ込んだためであると見破って細工師の窃盗を暴いた。

さて、ガリレイ（16世紀）はアルキメデスをよく勉強していた。アルキメデスには「梃子の原理」や「浮体について」の論文があるから、それらを利用すれば、もっと簡単に結末がわかったろうと言っている。ガリレイは秤の重りを工夫して、天秤に載せれば直ちに金、銀の別がわかる工夫をしたと伝えられる。日本語のWikipediaではウィトロウィウスの方法に対する批判があると述べたあと、天秤にかけて水中に入れる方法が記載されている。それぞれ同じ重さの純金と疑念のある冠を空気中で均衡させて、そのまま水中に浸ける。秤は当然純金のほうに傾く。これも正解にちがいないが、アルキメデスがそのようにしたかどうかはわからない。

筆者が読んだ限りで説得力があるようにみえる批判論は、アメリカ、ドレクセル大学、クリス・ロレス数学教授の説だ。この説には、英文ではa golden crownとしてある冠が、実はリース（wreath）だと明言している。ギリシャでは昔、月桂樹、 マートル、 樫、オリーブなどの枝葉で冠を作った。マラソン勝者の頭に飾るあれだ。ついでながら、2016年5月、ロンドンのデイリー・メール紙が報じているギリシャの金製のリースは2300年前のものとされる。差し渡し8インチ（=20.32cm）で100ｇだという。故人となった一般旅行者が遺した一品が発見されたとの記事であるが、オークションに出されれば1～2億円相当という話だ。

ロレス教授がもちだしたのは、1970年、マケドニア地方のヴェルギナ出土の品でアレクサンダー大王の父君の墓から出た4世紀のものだ（上の図参照）。目下のところ最大のリースだ。直径18.5㎝、部分的に葉っぱが欠けているが重さ714gである。教授は、このような冠ではアルキメデスの時代に測定が無理だったろうとして、ウィトロウィウスの記述を批判する。長くなることを承知で以下に計算過程を述べる。

ヴェルギナの冠を参考にして、例証のデータをそろえる。出土品の葉っぱの欠けた分も考えて問題のリースの重さを1000g、水を入れる容器の直径を20㎝と仮定して検証にかかる。データから計算すれば、容器の開口面積は314㎝²。金の密度19.3g/cm³、1000gの体積は1000/19.3=51.8cm³（D-battery＝単１乾電池ほどの大きさ）。水に浸けたときの水位の変動は高さで、51.8/314=0.165cmと計算できる。

銀が30％＝300g 混ぜられたと仮定する。銀の密度は10.5g/cm³、冠の体積は700/19.3+300/10.5=64.8cm³、水に沈めると、64.8/314=0.206cm　だけ水位が上昇する。純金の場合との排水量の差は水面の高さで0.206-0.165=0.041cm(または 0.41mm）となる。この値は水の表面張力、粘着度、リースの葉の間の水泡などを考えれば目測で計量するには誤差が避けられない。ましてリースの重さが1000g以下であるとか、容器の径が20cm以上あるとか銀が30％より少ないとかであれば、水位の変化は0.41mmよりも少なくなる。

教授は続ける。もっと実用的な方法がある。アルキメデスの浮体論と梃子の原理を利用するのだ。疑念のあるリースを秤の一方に吊り下げ、反対側に金の塊を吊り下げて平衡させる。そのまま秤を水を入れた容器に浸ける。均衡が保たれればリースと金が同じ体積で両方の密度は同じである。もし金のほうに傾くならば、リースの密度が金より小さいために体積が金より大きいからだ。リースは金と金より軽い金属との合金だからそのようになる。

この技術を30％合金のリースが1000gだとして検証してみよう。体積が64.8cm³だから排出水量は64.8ｇだ（水の比重は1g/cm³）。重さは1000ｰ64.8=935.2g。純金のほうは1000-51.8=948.2g。その差は13gである。天秤を均衡させて水中に浸けると13gの差が傾きに現れる。アルキメデスの頃でもこの計量差は確実に把握できたはずだ。まして、ウィトロウィウスの方法による誤差は起こり得ないのだ。

合金のリースと純金の塊が空気中で均衡しなくても、秤による方法が有効だ。水に入れる前に支点を調節すればよいのだ。

二つの方法を要約しよう。リースを30%の合金と仮定すると、純金塊との体積の差が13cm³。ウィトロウィウスの方法では排出水量の容積を調べることでこの体積差を測ろうとした。13cm³の水は一辺が2.35㎝の立方体であるなら簡単に調べられる。しかし、13cm³の水がリースを十分展開できる広さ（例では314cm²）に広がったなら、水の高さは僅か0.41㎜でしかなく、目測や流量計での正確さには程遠い。秤による方法は13cm³の体積を目盛りの上で13gの差に変換し、それは古代の秤でも検証可能なのだ。

ロレス説はいかにも説得力がありそうだ。しかし、ウィトロウィウスの文章に単位当たりの銀の重さがわかったとあるのはどう考えるのだろうか。ロレス教授は体積にこだわるから平べったく容器に張り付いた水の高さを測る羽目になる。重さならギリシャ・ローマの時代にもそれなりの測定法はあった。天秤を使わなくても純金と銀の合金との重さの違い13グラム（当時の単位は当然別の用語）は測れたのである。ウィトロウィウスの文章は信用できる。

それでは浴場でのインスピレーションから何が得られたのだろう。比重ではないかと言明するのはブログに書く秀衛門さんだ。重さを測ったとウィトロウィウスの文章にあることを指摘するのもこの人だ。ロレス教授よローマ人の文章をよく読んであげてください。

筆者は秀衛門さんにネット上で偶然に出逢って教えられた。この人はウィトロウィウスの測定方法を道具を工夫して実験をしている。その実証は見事だと思う。池内教授はアルキメデスが比重を心得ていたとしているが、ウィトロウィウスはそれらしいことには触れていない。

「エウレーカ」の故事をもって浮力の発見とする説が多いが、冠の課題解決に浮力は必要ないはずである。アルキメデスが見つけたことは何だったのか。物体を水と置き換えるときの自然法則か。比重説は有力だと思う。秀衛門さんのブログのURLを書いておく。

http://hide-emon2803-2.blog.jp/archives/5547756.html　全体が複数のサイトにわたっている。

https://www.cs.drexel.edu/~crorres/　ロレス教授のホームページ（英文）

https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/CrownIntro.html　冠のサイト。souceの項にウィトロウィウスの文章がある。（英文）

(2021/7)